Главная \ Статьи и новости \ Математика для мам: как решать уравнения

Как решать линейные уравнения

Что такое - уравнение

Речь сегодня пойдет о линейных уравнениях. То есть о таких, в которых нет никаких хитрых дробей, степеней и прочих сложностей. Самых простых уравнениях, которые ребята начинают решать еще в начальной школе. Например, вот таких:

2x+4=12

Давайте для начала представим, что это вообще за зверь такой - уравнение.
Уравнение появляется тогда, когда у нас есть что-то одинаковое.

У Васи 12 яблок. И у Пети 12 яблока.

12=12.

Уравнение!

Но беда в том, что мы можем и не знать, сколько яблок у того же Васи. Вдруг он их по карманам распихал. И поди теперь, посчитай. Знаем только, что столько же, сколько и у Пети. Но сколько именно - Бог ведает.
В математике число, которое нам неизвестно, принято обозначать какой-то латинской буквой. Чаще всего - X (икс) или Y (игрек). Ну да вы знаете. 
Тогда мы можем написать про яблоки Васи и Пети:

Х=12 (то есть у Васи, количество яблок у которого нам неизвестно (а потому - Х), этих самых яблок столько же, сколько и у Пети, у которого 12).
Вот у нас и получилось уравнение с одной неизвестной. Самое простое.
Его - можно усложнить.
Допустим, этот самый Вася и впрямь распихал яблоки поровну по карманам. Карманов у него много. 4. Сколько в каждом из них яблок - мы, опять же, не знаем. Значит - пишем, что их там Х. А поскольку карманов 4, чтобы узнать, сколько яблок всего, надо количество яблок в одном кармане (то есть Х) умножить на 4. Получится чуть более сложное уравнение:

4 х Х = 12 (или просто 4Х=12 - в математике перед буквами и скобками знак умножения ставить не принято). Почему - 12, понятно? У Васи же яблок столько, сколько и у Пети. А у того - 12. 

А если, например, Вася этот яблоки распихал лишь по 2 карманам, а оставшиеся 4 плода, которые не влезли в карманы, держит в руках? И мы опять не знаем, сколько влезло в один карман? Тогда получается такое вот уравнение:

2Х + 4 =12 (то есть яблоки в каждом кармане (Х) мы умножаем на количество карманов (2) и прибавляем те 4 фрукта, который Вася держит в руках. Получаем, сколько всего яблок у Васи. И приравниваем это количество к количеству яблок у Пети (12))

Короче - уравнение, это пример, в котором приравниваются две какие-то равные величины. Одну из которых мы можем и не знать.

На каком правиле основывается решение уравнений?

Давайте вернемся назад. Среди всех написанных выше уравнений есть одно, решить которое не составит никакого труда. Догадались, о каком идет речь? 

Х=12. 

Все! Не вопрос! У Васи столько же яблок, сколько у Пети? Значит - 12. Точка.

Собственно, решение всех уравнений и сводится к тому, что мы после каких-то ухищрений можем записать:

Х = чему-то.

Если нам это удалось - мы решили уравнение.
Но как из уравнения, скажем

2Х + 4 =12

сделать

Х = чему-то?

На самом деле - просто. Мы используем очень простой принцип: 

Если у нас есть равенство - например,

количество яблок у Пети = количеству яблок у Васи,

то

мы можем одно и то же арифметическое действие сделать с обеими частями равенства, и при этом равенство не изменится.

Пете дали 2 яблока, Васе дали 2 яблока. У кого стало больше яблок? Ни у кого - яблок снова поровну.

У Васи забрали 4, у Пети забрали 4. Изменилось равенство? Нет! Яблок снова у обоих пацанов поровну. 

Теперь давайте посмотрим на наше уравнение:

2Х + 4 =12

Что нам мешает написать просто Х= ?
Мешают двойка, на которую умножается Х. И мешает 4. Какой вывод?
Убить их, злодеев, и дело с концом! 
В математике акт физического устранения неугодных чисел мы можем осуществить только с помощью убийственных арифметических действий. 
Таких действий несколько. К каждому конкретному числу надо применять подходящее.
1.Если мы какое-то число прибавляем (как, например, 4 в нашем уравнении 2Х + 4 =12 ), то чтобы его убить, надо из него вычесть его же самого: 4-4=0. Все, нет четверки.

2.Если мы что-то вычитаем (в нашем уравнении такого нет, слава Богу, а вот в этом:

2Х-3=15

-есть! Тройка! Чтобы ее убить - к ней надо прибавить ее же саму. -3+3, то есть сперва отобрали, а потом вернули. Итог - круглый 0!

3.Если мы что-то умножаем (в нашем уравнении 2Х + 4 =12 - это 2, двойку мы умножаем на Х), мы можем число просто поделить на него же. Получится 2 /2=1. Когда мы Х умножим на этот 1 получим просто Х. Все, двойку мы убили. 

Ну и так далее. В общем, закономерность такая - чтобы убить число, мы должны применить к нему действие, обратное тому, которое к нему применяется в самом уравнении. 

Тут, правда, может быть небольшая сложность с пониманием того, какое именно действие делается с данным конкретным числом.
Если сразу не понятно - смотрите, есть ли другое число, на которое ваше умножается (это другое может стоять как до вашего числа, так и после. При этом, напоминаю, знак умножения перед переменной (а еще перед скобкой и в ряде других случаев) - не ставится). 
Если такого числа нет, то ваше число - слагаемое, то есть оно к чему-то прибавляется. Даже если стоит в начале примера. И чтобы его убить - из него надо вычесть само это число. В противном случае - оно множитель. И его надо поделить на самого себя. 

Но!

Как же мы можем по одной только нашей прихоти взять и ни с того , ни с сего просто так что-то там вычесть из примера или умножить. 
Это все равно, что просто так у Васи, у которого столько же яблок, сколько и у Пети, отобрать 2 яблока. И сказать, что у ребят все равно яблок поровну. Согласитесь - так не получится. А что надо сделать, чтобы справедливость восторжествовала? Правильно! Отобрать одинаковое количество сразу у обоих. 2 у Васи, 2 у Пети. И тогда равенство не нарушится. 

Смотрите, как все это выглядит в уравнениях. 

Итак:

2Х + 4 =12

Нам надо убить сперва 4 (почему именно ее - расскажу буквально через несколько строчек)

4 в примере ни на что не умножается, значит, это - слагаемое. Из которого, чтобы убить, надо вычесть его же самого. 

2Х + 4-4=

Но раз я слева вычел 4, то, чтобы равенство не нарушилось, надо и справа сделать то же самое:

2Х + 4 - 4 = 12 - 4

Слева четверки сами себя переубивают, и останется только 2Х. Справа же получится 8. То есть:

2Х=8

Теперь - надо убить 2. Так как есть другое число или переменная, которая умножается на 2 (в нашем случае это - Х), чтобы убить двойку, ее надо делить на саму себя. Делим:

2Х/2=

И чтобы сохранить равенство - мы то же самое действие делаем с правой стороны. 

2Х/2=8/2

Слева 2/2 дают 1 и получается 1Х или просто Х, справа же - выходит 4. То есть получается 

Х=4

Все, мы решили уравнение. 

Осталось только понять, почему, решая уравнение 2Х + 4 =12, мы начали убивать с 4, а не с 2. Это связано с тем, что, подбираясь к Х, мы, по сути дела, разматываем весь клубок арифметических действий с самого конца. А значит, и

избавляться от ненужных чисел надо в порядке, обратном тому, в котором мы решали бы пример

Помните, порядок действий? Сперва - то, что в скобках, потом - то, что под знаком специальных функций ( не суть, с ними ребята столкнутся только в старших классах), потом - степень, потом - умножение и деление, потом - сложение и вычитание. Так вот убивать числа нужно в обратном порядке.

Как все это будет по-школьному: переносим в другую сторону от знака равенства

В школе ребята привыкают все эти действия выполнять, не понимая того, почему они их делают. И называют они их тоже по-другому. 
Связано это с тем, что в момент, когда школьники начинают проходить уравнения, они не знают ни отрицательных чисел, ни дробей. И из-за этого объяснить им решение целого ряда уравнений описанным выше способом сложно. 

Например, при решении элементарного уравнения

25-2Х=17

сперва надо из 25 вычесть 25.

25-25-2Х=17-25

2Х=17-25

И тогда в правой стороне появляется отрицательное число. 
Объяснять, что это такое, ученику третьего класса сложно. Поэтому в школе в ходу чисто визуальное правило.

Приглядитесь к тому уравнению, которое мы начали решать. Внешне его решение выглядит так, будто мы взяли 25, утащили его из левой части уравнения и забросили в правую. При этом при перелете границы = знак перед числом поменялся на противоположный. 

Это правило прекрасно работает в началке. Когда нет отрицательных чисел и прочих сложностей. Но как только пойдут минусы, которые перестанут быть просто арифметическим действием, ребята начинают путаться. Уравнение типа

-2Х-5=8

вызывает ступор иной раз даже у старшеклассников. С каким знаком двойку переносить - с тем же или менять на плюс?

Вообще - ошибки на знак в старших классах - наираспространеннейшие. И говорят они только о том, что ребята не понимают, что именно происходит с числами .в примерах и уравнениях.
Наш способ позволяет такие ошибки избегать. Смотрите:

-2Х-5=8

Есть число или переменная, на которое умножается -2? Да, это Х. Значит, -2 - множитель, участник действия умножения. И чтобы убить его - надо его поделить на -2. В целом же решение этого уравнения будет таким:

-2Х=8+5 (понятно, почему? Мы начинаем убивать с последнего действия, со сложения. Прибавляем к -5 пятерку и в сумме получаем 0. Слева остается только -2Х. Справа же мы делаем то же самое действие - 8+5)

Дальше:

-2Х=13
Х=13/-2= -6,5

 

 

 

 

 

 

 

 

Записаться на занятия
Ваши контактные данные и другая доверенная нам информация не будут переданы третьим лицам.